Redescubrimiento independiente de las hiperoperaciones

Durante el curso pasado, a finales de 2012, estuve pensando en las operaciones elementales de la siguiente manera: dado que la multiplicación no es otra cosa que sumar repetidas veces un elemento a sí mismo, y la potenciación, de la misma manera, consiste en multiplicar repetidas veces un elemento a sí mismo, parece natural considerar una nueva operación que consista en elevar repetidas veces un elemento a sí mismo, y siguiendo el mismo proceso considerar otras (infinitas) operaciones que resulten de aplicar la operación anterior repetidas veces sobre un elemento.

Ante tales reflexiones, elaboré un documento [1] al respecto de estas operaciones generalizadas —que en un principio denominé «sumas generalizadas»— en el cual describía formalmente la idea general de cómo construir dichas operaciones. Posteriormente, comencé el proyecto más ambicioso de desarrollar toda una teoría de tales operaciones —que por motivos evidentes denominé «teoría de operaciones»—, en el sentido de estudiar en detalle tanto las propiedades de las primeras nuevas operaciones definidas explícitamente como las propiedades de las operaciones en abstracto. Elaboré un documento sobre el tema [2] en el que definí la primera nueva operación sobre los enteros e identifiqué y demostré varias propiedades sobre ella. Asimismo, consideré la operación inversa y nuevamente varias de sus propiedades. La investigación (al menos la parte desarrollada formalmente) esencialmente quedó ahí, siendo los objetivos futuros extender dicha primera nueva operación a conjuntos numéricos superiores (reales, complejos), considerar el comportamiento de tal operación contextos como el análisis matemático, estudiar en este sentido varias de las operaciones siguientes, y determinar las propiedades generales de las operaciones en sí y las relaciones que existen entre ellas, consideradas en abstracto.

Sin embargo, recientemente he tenido constancia de que la existencia de tales operaciones ya fue descubierta por lo menos a principios del siglo XIX, bajo el nombre de «hiperoperaciones», y de que la teoría está efectivamente bastante desarrollada, con lo que mis ideas al respecto —aunque fueran originales en el sentido de desarrolladas autónomamente— pasan de ser nuevas (como, por otra parte, era natural dudar) a ser un redescubrimiento de estructuras matemáticas preexistentes. Tendría que investigar más, en todo caso, si se ha realizado algún avance en el sentido de considerar el comportamiento de tales operaciones en diversos contextos matemáticos (por ejemplo, en el análisis matemático, como he mencionado antes), y hasta qué punto se han estudiado las relaciones abstractas entre los elementos del conjunto de hiperoperaciones. Aun así, al no ser ya una idea nueva, me resulta bastante menos motivador considerar aspectos más específicos del tema, por lo que en principio no cuento con que vaya a dedicarme más al tema. Dejo un enlace a lo poco que desarrollé el documento sobre las hiperoperaciones.

Referencias

[1] Generalised Sum, A. Moreno, 2012. El documento aparentemente se ha perdido.

[2] Introduction to Operation Theory, A. Moreno, 2012.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s